Імітаційне моделювання

Імітаційне моделювання Главная [https://17vzvod.io.ua] ссылки поиск вход io.ua напомнить пароль фото очерки видео ссылки Контакты Оцінка варіантів рішення та вибір найкращого варіанту в умовах поточної обстановки з використанням математичної моделі має два підходи: аналітичне та статистичне моделювання. При аналітичному моделюванні розробляється математична модель у вигляді сукупності математичних співвідношень (залежностей, рівнянь), які зв’язують шуканий результат досліджуваного об’єкта з початковими умовами його роботи. Тут може бути два варіанти. У першому варіанті математичні залежності та співвідношення безпосе­редньо зв’язують шуканий результат з початковими умовами аналітично. Це означає, що шуканий результат може бути знайдений шляхом розв’язання ро­зроблених математичних рівнянь за конкретно заданими початковими умо­вами. Прикладом такого варіанту є розрахункові формули дослідження сис­теми масового обслуговування (СМО). Якщо СМО задовольняє певним накла­деним умовам та потоки замовлень вважаються пуассонівськими, її показники ефективності знаходяться по формулам Ерланга. У другому варіанті внаслідок специфіки задачі дослідження аналітичний зв'язок шуканого результату з початковими даними не може бути визначений. Проте можна розробити алгоритм пошуку результату за заданими початко­вими умовами. Виконання алгоритму веде до одержання потрібного резуль­тату. Прикладом такої математичної моделі є транспортна задача (задача роз­поділу ресурсів), яка розв’язується методом потенціалів. Для подальшого обговорення введемо поняття системи. Під системою бу­демо розуміти об’єднану за якоюсь ознакою організовану, цілісну, впорядко­вану множину взаємопов’язаних, взаємозалежних і взаємодіючих об’єктів (елементів), яка призначена для цілеспрямованої взаємодії з множиною ком­понентів зовнішнього середовища. Виходячи з цього визначення, можна стверджувати, що об’єктом дослі­дження в органі військового управління, як правило, є саме система. Підтвер­дженням цього є розглянуті у п.3.1 приклади завдань, які там вирішуються. До розробки моделі системи можна підійти по-різному. Виходячи з приз­начення системи та визначивши її шукані показники ефективності, можна зо­середити зусилля на безпосередньому знаходженні математичних залежнос­тей, які зв’язують ці шукані показники з початковими умовами. Такий підхід вивчає функціонування системи і називається функціональним. Прикладом може бути дослідження динаміки системи з використанням апарату марковсь- ких випадкових процесів, при якому аналізується зміна станів системи. Можна поступити інакше. Відтворивши у моделі структуру системи, вра­хувавши всі зв’язки між елементами системи, можна описати поведінку кож­ного елемента математично, тобто зв’язати математичними рівняннями вихід, реакцію елемента з вхідним впливом на нього. Завдавши початкові умови, мо­жна спостерігати результати роботи системи, як послідовний процес перетво­рення кожним елементом вхідних впливів, та, узагальнюючи ці результати, зробити висновки про шукані показники ефективності системи. Такий підхід називається структурним. Вибір того чи іншого підходу залежить від властивостей системи та за­вдань, що стоять перед дослідником. Перевагою структурного підходу, напри­клад, є можливість визначення впливу характеристик та властивостей кожного елемента на загальні властивості системи. Якщо йдеться про роботу технічної системи, принципових проблем щодо математичного описання роботи кожного елемента нема. Адже побудова будь- якого технічного елемента базується на відомих законах фізики. Тому елемент допускає суворе математичне описання, хоча математичні залежності можуть бути достатньо складними. Втім при використанні комп’ютера математична складність немає принципового значення, оскільки чисельні методи, шо реалі­зовані у комп’ютері, є універсальними та дозволяють знайти рішення матема­тичного рівняння будь-якої складності. Тому структурний метод моделювання успішно застосовується при дослідженні, наприклад, автоматичних систем, починаючи з їх проектування. Метод дозволяє також включати до складу мо­делі реальні елементи, що підвищує достовірність проведених досліджень. Складності виявляються тоді, коли до складу системи входить людина або колектив людей, наприклад, при дослідженні автоматизованих систем - лю- дино-технічних систем, в яких виконання головних функцій залишається за людиною. Спроби математично описати поведінку людини під час виконання нею певного завдання успіху не мали. Тому для дослідження таких систем був запропонований інший підхід, суть якого полягає в імітуванні поведінки лю­дини за допомогою технічних засобів, в першу чергу, з використанням комп’ютера. Такий підхід одержав назву статистичного. При статистичному моделюванні елементи досліджуваної системи замі­нюються моделями, імовірнісне описання яких з використанням функції Г(х) або щільності розподілу/{х) співпадає з описанням реальних елементів. Моде­лювання полягає в тому, що здійснюється множина спроб, в кожній з яких на елемент надходить зовнішній сигнал, і елемент реагує на сигнал відповідно до своїх імовірнісних характеристик. Одержавши статистичний матеріал після проведення певної кількості спроб, виконується його обробка та визначаються статистичні характеристики досліджуваної системи, які дають можливість зробити узагальнені висновки про її властивості. Простіше за все пояснити суть статистичного моделювання на прикладі. Припустимо, що людині треба виконати завдання, яке складається з ланцюга 5* окремих робіт (рис. 6.1). ?1 *2 Ь к о---------- о-------- о----------- о—а------------ о о Рис. 6.1 На рисунку роботи відокремлені одна від іншої маленькими кружечками. На кожну роботу витрачається певний час tj. Треба знайти загальний час Т ви­конання завдання. Очевидно, що час t, виконання кожної роботи людиною є випадковим. Тому й загальний час Т також буде випадковим. Знайти його можна, якщо ха­рактеризувати виконання кожної і-'і роботи, наприклад, середнім часом t cpi . s Тоді можна визначити середній час на виконання завдання: Т ср = IX/ • Такий ;=1 підхід до вирішення задачі ми назвали аналітичним. Але можна поступити іншим способом. Дослідивши процес реального ви­конання кожної роботи, можна заздалегідь визначити можливий діапазон часу на її виконання та хоча б приблизно визначити функцію розподілу часу F(t) або щільність розподілу f[t) часу на виконання. Маючи такі дані, можна орга­нізувати експеримент, суть якого буде полягати у завданні часу на виконання кожної роботи імовірнісним способом. Вибирають час t t виконання кожної ро­боти як випадкову величину, підпорядковану функції розподілу F,{t). Тоді за­гальний час виконання завдання Т визначиться як сума цих випадкових зна­чень виконання робіт. Таким чином здійснюється одна спроба і одержується одна реалізація часу виконання завдання. Очевидно, таких спроб можна здійснити достатньо багато, знову і знову визначаючи в кожній спробі випадковий час виконання робіт. Накопичений статистичний матеріал щодо значень Т к (к= 1,2,..., п) по­тім можна обробити, одержати статистичні характеристики та зробити зага­льні висновки про шуканий час виконання завдання. Можна стверджувати, що при достатньо великій кількості п експеримен­тів знайдене таким чином значення Т ср не буде відрізнятися від того, що було розраховане через середні значення робіт / ср( . Але такий спосіб проведення екс­перименту для визначення характеристик системи має значно ширші можли­вості порівняно з аналітичним та може використовуватися також у випадках, коли аналітичні розрахунки стають дуже складними або взагалі неможливими. Дійсно, для організації експерименту достатньо мати структурну модель сис­теми та імовірнісні характеристики кожного її елемента. Сама процедура про­ведення дослідження зводиться до множини дослідів, в кожному з яких прос­тежується імовірнісна реакція елементів та всієї системи на зовнішні впливи. Описана процедура фактично імітує процес виконання завдання люди­ною, і тому таке моделювання називають імітаційним. Технічні засоби, які використовуються при статистичному, або імітаційному моделюванні, в зага­льному випадку можуть бути різними. Але найбільш потужним сучасним за­собом, зрозуміло, став комп’ютер, який реалізує розроблений алгоритм вико­нання дослідів. Тому такий спосіб моделювання називається також комп’юте­рним, або цифровим. Узагальнюючи, можна сказати, що суттю статистичного моделювання є проведення дослідів з моделлю системи, коли функціонування її елементів описується статистичними характеристиками. Кожний дослід (реалізація) імі­тує поведінку реального елемента: при поданні на вхід конкретного впливу елемент реагує на нього, виробляючи на виході значення випадкової величини у відповідності до своєї функції розподілу. (Оскільки випадкові події й випад­кові функції можуть подаватися з використанням випадкових величин, то й моделювання випадкових подій і випадкових функцій проводиться за допомо­гою випадкових величин). Повторюючи досліди або експерименти, накопичений статистичний ма­теріал надалі обробляється, обчислюються статистичні характеристики дослі­джуваних величин та робиться висновок про закономірності, які при цьому виявляються. Зокрема, можна робити висновки про показники ефективності функціонування досліджуваної системи. За такою постановкою метод статистичного моделювання може розгляда­тися як універсальний метод дослідження. Статистичне моделювання надає можливості дослідження систем будь-якої природи та складності. Все зале­жить тільки від визначення характеру взаємодії системи із зовнішнім середо­вищем та визначеної якості статистичних характеристик її елементів. Щодо останніх треба сказати наступне. У поняття елемент немає чіткого визначення. Наприклад, якщо аналізується функціонування військової час­тини як системи, треба прийняти певну домовленість про те, що вважати її елементами, тобто складовими, які далі при розгляді не поділяються. Це мо­жуть бути роти, або взводи, або відділення. Адже солдат з автоматом також є системою. Іншими словами, кожну систему можна розподілити на складові, які, в свою чергу, можуть розглядатися як системи. І треба при розробці моделі системи, перш за все, виходячи із завдання та масштабу системи, визначитися з її структурою та вирішити про те, що вважати елементами. Після визначення множини елементів, які утворюють досліджувану сис­тему, визначаються зв’язки між елементами, тобто розробляється структурна схема системи, її модель. Математичне описання створеної моделі полягає у завданні кожного еле­мента системи його законом розподілу у вигляді функції або щільності розпо­ділу. Визначена таким способом математична модель системи є об’єктом для проведення статистичних випробувань. Наведений порядок розробки статистичної моделі системи, зрозуміло, має суто орієнтовний загальний характер. В дійсності розробка моделі системи є складним творчим процесом, у якому приймають участь фахівці різних спеці­альностей. Тут нема готових загальних методик розробки моделі, хоча можна виділити окремі загальні етапи. Перш за все, треба чітко, в усіх деталях усвідомити поставлене завдання: що є об’єктом дослідження, які результати (показники ефективності) мають бути одержані, які накладаються обмеження на проведення дослідження, які характеристики об’єкту мають бути розглянуті, в яких умовах розглядається функціонування системи і т. д. Від вірного розуміння поставленого завдання залежить успіх всього дослідження. Виходячи з висновків щодо задачі дослідження та потрібних результатів, виконується розробка математичної моделі системи. При цьому: визначаються властивості системи, які з точки зору поставленої задачі є несуттєвими та які можна виключити з розгляду; обґрунтовується рівень деталізації структури системи, при якому її скла­дові не поділяються та вважаються елементами; встановлюються зв’язки між елементами. Таким чином здійснюється спрощення структури системи, при якому збе­рігаються лише ті її властивості, які є суттєвими, виходячи із поставленого за­вдання на дослідження. Для кожного елемента системи відповідно до задачі дослідження визна­чаються його властивості та статистичні характеристики, якими описується процес його функціонування (ймовірність події або функція розподілу випад­кової величини). Визначаються способи моделювання випадкових величин, подій та їх по­слідовностей, оскільки робота кожного елемента системи залежить від того, який саме сигнал надходить до його входу. Фактично треба знайти спосіб ор­ганізації елементарного досліду, який надає відповіді на питання: Відбулася чи не відбулася певна подія? Яка саме подія з можливих відбулася? Яке значення прийняла випадкова величина? Моделювання появи випадкової події виконується за такою методикою. Нехай ймовірність події А дорівнюєр: Р(А) =р. З використанням датчика, який генерує випадкові числа в діапазоні від 0 до 1, розподілені за рівномірним за­коном, виберемо випадкове число R. Якщо R < р, будемо вважати, що подія відбулася, в іншому випадку (R>p)~ не відбулася. Методика випливає просто з визначення поняття ймовірність. Для моделювання конкретних значень х безперервної випадкової вели­чини X також використовується датчик випадкових рівномірно розподілених чисел R. Суть методики полягає у визначенні х через значення її функції роз­поділу F(x). Доведено, що якщо вибрати F(x) = R та знайти відповідне цьому числу значення х, випадкова величинаX, якій належить це значення, буде мати функцію розподілу F(x). Як приклад, покажемо знаходження значень випадкової величини X, роз­поділеної за експоненціальним законом. Прирівняємо її функцію розподілу ви­падковому числу R: F(x) = l-e~ Ax =R. Генеруючи значення випадкової величини Я та розв’язуючи одержане рі­вняння, будемо одержувати різні значення х випадкової величини X, розподі­леної за експоненціальним законом. Зрозуміло, що методика передбачає вико­нання всіх операцій з використанням комп’ютера. Таким чином готується модель для проведення статистичних випробу­вань (імітаційних прогонів) та розробляється алгоритм їх проведення. Накопичені експериментальні результати обробляються, аналізуються та використовуються для формування загальних висновків щодо властивостей системи та її показників ефективності. Як приклад використання статистичного моделювання, розглянемо таку задачу. По цілі виконується 6 незалежних пострілів. Ймовірність влучення у ціль одним пострілом р вл = 0,2. Для ураження цілі потрібно не менш двох влу­чень. Треба промоделювати результати ведення вогню по цілі та знайти ймо­вірність ураження цілі р ур . Розглянемо підготовку алгоритму виконання одної реалізації. Моделюємо перший постріл, порівнюючи випадкове значення 7? (0 <К <1), генероване да­тчиком випадкових чисел, з ймовірністю р вл . Якщо 7?< р вл , робиться висновок, що постріл влучний та в лічильник заноситься 1. Інакше в лічильник зано­ситься 0. Точно так же здійснюються спроби для наступних п’яти пострілів. Результати кожного пострілу заносяться у лічильник. Якщо після всіх шести спроб (шести пострілів) число 77, накопичене у лічильнику, більше 2, робиться висновок, що ціль уражена (р х , р = 1). Реалізації повторюються N разів. У кожній реалізації визначається зна­чення 77 та робляться висновки про ураження цілі. За одержаними в кожному досліді значеннями р ур знаходиться середнє арифметичне М{Р ур ) та робиться висновок про ймовірність ураження цілі. При статистичному моделюванні завжди виникає питання про доцільну кількість N реалізацій у досліді. Зрозуміло, що чим більше N, тим більше час­тота подій буде наближатися до шуканої ймовірності, тим меншою буде поми­лка є = р -р*. Зв’язок між кількістю реалізацій ТУ та помилкою можна встано­вити аналітично, користуючись методикою, викладеною в п.3.4. Припуска­ючи, що частота р* розподілена за нормальним законом, залежність між є та N встановлюється формулою (4.3), де а визначається за формулою (4.2). Втім необхідність кількісного визначення помилки є з’ясовується під час виконання конкретного дослідження статистичної моделі. При цьому виходять із за­вдання дослідження, потрібної точності результатів, складності досліджуваної моделі, потужності комп’ютера. Статистичні моделі дозволяють знаходити не тільки показники ефектив­ності досліджуваної системи, але й спостерігати функціонування системи як процес у часі. Для цього достатньо описати динаміку кожного елемента сис­теми, що означає завдання змін у часі характеристик та параметрів елемента залежно від сигналів, які надходять до нього з боку зовнішнього середовища та від інших елементів системи. Варіанти математичного описання динаміки можуть бути різними залежно від призначення елементів та їх поведінки у часі. У варіантах закладаються характеристики елементів, які можуть бути де­термінованими або випадковими, такими, наприклад, як щільність розподілу реакції елементів. Таким чином розробляється сценарій поведінки системи, в якому перед­бачаються всі можливі зміни станів системи внаслідок надходження у часі спланованих потоків зовнішніх впливів та взаємодії її елементів. При статистичному моделюванні динаміки системи можуть передбача­тися зупинки процесу функціонування системи, зміни поточних характерис­тик елементів та характеристик зовнішніх впливів. Це дозволяє міняти варіа­нти аналізу системи та наближає розіграш ситуацій на моделі до дослідження можливих ситуацій у реальній системі. Широкі можливості статистичних, або імітаційних моделей привели до їх плідного використання у військовій справі. В арсенал системи інформаційно- аналітичного забезпечення органів військового управління різного рівня уже да­вно і міцно ввійшло імітаційне моделювання з використанням комп’ютерів. Ро­зробка та застосування комп'ютерних моделей військового призначення є од­ним із пріоритетних напрямків, спрямованих на підвищення ефективності ро­боти органів управління. Штучна обстановка, яка відтворюється в імітаційних моделях, дозволяє оці­нювати бойові можливості військових формувань і угруповань з альтернатив­ними варіантами укомплектування особовим складом і озброєнням з урахуван­ням різних сценаріїв, які включають широкий спектр зовнішніх впливів, що ро­зрізняються по характеру, просторовому розмаху, масштабу і т. ін. Таким чи­ном, імітаційне моделювання є могутнім і універсальним засобом забезпечення процесу прийняття рішень [3].