П И Т А Н Н Я
на державний
iспит з математики та iнформатики
(для бакалаврiв)
Математичний аналiз
1. Числова
послiдовнiсть та її границя.
2. Границя
й неперервнiсть функцiї в розумiннi Кошi та Гейне.
3. Властивостi
неперервної функцiї на компактi.
4. Диференцiйованiсть
функцiї. Критерiй диференцiйованостi.
5. Локальний
екстремум. Необхiднi та достатнi умови екстремуму.
6.
Інтеграл
Рiмана. Критерiй iнтегрованостi функцiї
за Рiманом.
7. Числовi
ряди. Ознаки збiжностi.
8. Функцiональнi
ряди. Ознаки рiвномiрної збiжностi.
9. Ряди
Фур'є. Рiвномiрна збiжнiсть рядiв
Фур'є.
10.Інтеграл
Рiмана на компактi та його
застосування (обчислення
площин,
об'ємiв).
11.Криволiнiйнi iнтеграли.
Умови незалежностi криволiнiйного
iнтегралу
вiд шляху iнтегрування.
12.Поверхневi iнтеграли.
Формули Грiна, Стокса, Остроградського.
13.Градiєнт, дивiргенцiя
i вихор векторного
поля.
14.Невласнi iнтеграли.
Ознаки збiжностi.
15.Невласнi iнтеграли,
залежнi вiд параметра.
Ознака рiвномiрномірної
збiжностi.
16.Формула
Тейлора функції
однієї змінної .
17.Функцiї багатьох змiнних. Диференцiал та частиннi похiднi.
Література
1.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
– М., Наука, Т.1, 1966. – 607 с., Т.2, 1966. – 800 с., Т.3, 1966. – 656 с.
2.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., Наука,
1972. – 544 с.
Алгебра та
геометрiя
1.
Основнi рiвняння прямої та площини
у просторi.
2.
Критерiй сумiсностi системи лiнiйних рiвнянь.
3.
Лiнiйна залежнiсть та ранг системи
векторiв, методи обчислення
рангiв.
4.
Лiнiйнi оператори скiнченно-вимiрних
просторiв та їх матрицi.
5.
Власнi вектори та власнi числа
лiнiйних операторiв.
6.
Лiнiйнi оператори простої
структури.
7.
Лiнiйнi оператори дiйсних евклiдових
просторiв.
8.
Зведення квадратичних форм до канонiчного
вигляду.
9.
Основна теорема про подiльність
многочленiв.
10.Жордановi
нормальнi форми матриць.
Література
1.
Курош А.Г. Курс
высшей алгебры. – М., Наука, 1965. – 471 с.
2.
Фаддеев Д.К.,
Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М., Наука, 1964. – 304 с.
Дискретна математика
1.
Злiченнi та незлiченнi множини. Теореми Кантора.
2.
Вiдношення та їх властивостi. Вiдношення еквiвалентностi та
часткового
порядку.
3.
Зв'язнiсть i планарнiсть графiв. Методи перевiрки зв'язностi
i
критерiї планарностi графiв.
4.
Сполуки, перестановки i розмiщення. Полiномiальна
теорема.
5.
Канонiчнi (нормальнi) форми бульових функцiй. Алгебра Жегалкiна.
6.
Повнота i замкненiсть систем бульових функцiй. Теорема (критерiй) Поста.
Література
1.
Лавров И.А. Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. – М., Физматлит, 2001.
2.
Романовский
И.В. Дискретный анализ. – С.Петербург, СПб-ВНV, 2003.
3.
Капітонова Ю.В.,
Кривий С.Л. та ін. Основи дискретної
математики. – К., Наукова думка, 2002.
Теорія алгоритмів та математична логіка
1. Формальні моделі алгоритмів та алгоритмічно обчислюваних функцій. МНР-програми, машини Тьюрінга. ЧРФ,
РФ, ПРФ. Теза Чорча.
2.
Нумерації. Універсальні функції. Універсальна ЧРФ, універсальна машина Тьюрінга. s-m-n-теорема.
3.
Рекурсивні та рекурсивно перелічні множини,
рекурсивні та частково рекурсивні предикати, їх властивості.
4.
Алгоритмічна розв’язність та нерозв’язність
масових проблем. Нерозв’язність
проблем зупинки та самозастосовності, наслідки.
5.
Логіка висловлень (пропозиційна логіка), закони
логіки висловлень. Логіка предикатів 1-го порядку, мови 1-го порядку.
Істинність та виконуваність, логічний наслідок та логічна еквівалентність.
6.
Мова арифметики. Арифметичні предикати, множини та
функції. Арифметичність ЧРФ та РПМ. Теорема Тарського.
7.
Теорії 1-го порядку, числення предикатів 1-го
порядку. Моделі теорій 1-го порядку. Теорема тавтології. Теорема дедукції.
Несуперечливість, повнота, розв”язність теорій 1-го порядку.
8.
Теорема Гьоделя про повноту (теорема адекватності)
та її наслідки. Теорема компактності. Теореми Гьоделя про неповноту, їх
значення.
Література
1.
Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. –
М., Мир, 1983. – 256 с.
2.
Лісовик Л.П.,
Шкільняк С.С. Теорія алгоритмів. Навчальний посібник. – К., ВПЦ Київського
університету, 2003. – 163 с.
3.
Нікітченко М.С.,
Шкільняк С.С. Математична логіка. Навчальний посібник. – К., ВПЦ Київського
університету, 2003. – 120 с.
4.
Шкільняк С.С.
Математична логіка. Приклади і задачі. Навчальний посібник. – К., ВПЦ
Київського університету, 2002. – 56 с.
5.
Шкільняк С.С. Теорія
алгоритмів. Приклади і задачі. Навчальний посібник. – К., ВПЦ Київського
університету, 2003. – 95 с.
Програмування
1.
Мови програмування та їх класифiкацiя.
2.
Типи даних. Стандартнi типи даних (арифметичний та символьний).
3.
Структурованi данi та їх типи. Масиви.
Приклади обробки масивiв.
4.
Файли. Послiдовнi та з прямим доступом.
5.
Процедури та функцiї як засоби
структуризацiї
програм. Виклики
процедур та функцiй.
6.
Первиннi оператори. Оператор присвоєння. Структурнi оператори
(складенi, умовнi, циклiчнi).
7.
Оператор вводу-виводу (на прикладi конкретної мови
програмування).
8.
Поняття про функцiональне програмування.
9. Поняття
про структурне програмування.
10.Поняття
про об'єктно-орiєнтоване програмування.
Література
1.
Себеста
Р. Основные концепции языков программирования. – М., Издательский дом
«Вильямс», 2001.
2.
Вирт
Н. Алгоритмы + Структуры данных = Программы. – М., Мир, 1984.
Теорiя ймовiрностей
та математична статистика
1.
Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної
ймовiрностi
та формула Байеса.
2.
Випадковi величини. Властивостi функцiй розподiлу.
3.
Нерiвнiсть Чебишева. Закон великих чисел.
4.
Основнi типи дискретних та неперервних
розподiлiв.
5. Центральна гранична теорема для однаково розподiлених
незалежних
випадкових
величин.
6.
Поняття випадкового процесу. Вiнерiвський та Пуасонiвський
процеси.
7.
Випадкове середнє та дисперсiя. Емпiрична
функцiя розподiлу.
Теореми
Глiвенка та Колмогорова.
8.
Перевiрка статистичних гiпотез. Критерiї Колмогорова та
Пiрсона.
Література
1.
Гнеденко Б.В. Курс
теории вероятностей. – М., Наука, 1965. – 400 с.
2.
Боровиков А.А. Курс теории вероятности. – М., Наука, 1976. – 352
с.
3.
Гихман
И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятности
и математическая статистика - К., Вища школа, 1979. –
408 с.
Диференцiальнi рiвняння
1.
Теорема iснування та єдиностi розв'язку
задачi Кошi диференцiального
рiвняння
першого порядку.
2.
Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiвняння n-го порядку iз
сталими
коефiцiєнтами. Побудова загального розв'язку.
3.
Знаходження частинного розв'язку лiнiйного неоднорiдного рiвняння
n-го порядку за допомогою
методу
варіації довiльної сталої.
4.
Системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з сталими коефiцiєнтами
Знаходження загального розв'язку однорiдних систем.
5.
Представлення розв'язку лiнiйних неоднорiдних систем за допомогою
формули Кошi.
5.
Теорiя стiйкостi. Стiйкiсть лiнiйних стацiонарних систем. Критерій
Гурвiца.
6. Метод
функцiй Ляпунова. Основні визначення та теореми.
Література
1.
Гаращенко Ф.Г.,
Матвієнко В.Т. Диференціальні рівняння. – Київ, ВПЦ Київського університету,
2002. – 176 с.
2.
Хусаінов Д.Я.,
Бичков О.С. Диференціальні рівняння. – Київ, ВПЦ Київського університету, 2001.
– 132 с.
Дослідження операцій
1.
Задача лiнiйного програмування. Її
властивостi.
2.
Критерiй оптимальностi базисного розв'язку задачi ЛП.
3.
Двоїстi
задачi лiнiйного програмування. Теореми двоїстостi.
4.
Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Такера.
5.
Метод найшвидшого спуску.
6.
Оптимальнi чистi стратегiї у матричнiй грi. Теорема про мінімакс.
Література
1.
Попов
Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І., Методи
оптимізації. – Київ, Абрис, 1999. – 217 с.
2.
Морозов
В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях.
– М., Высшая школа, 1986. – 286 с.
Чисельнi методи
1.
Методи розв'язування нелiнiйних рiвнянь та систем.
2.
Чисельнi методи розв'язування систем лiнiйних рiвнянь.
3.
Методи iнтерполювання. Множники Лагранжа та Ермiта. Сплайни.
4.
Методи чисельного iнтегрування.
5.
Чисельнi методи розв'язування задачi Кошi.
Література
1.
Ляшко И.И., Макаров
В.Л., Скоробогатько А.А. Методы вычислений. – К., Наукова думка, 1976.
2.
Самарский А.А.,
Гулин А.В. Численные методы. – М., Наука, 1987.
3.
Бахвалов Н.С.,
Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. – М., Наука, 1987.
4.
Волков А.Ф.
Численные методы. – М., Наука, 1982.