|
ХАОТИЧНА ПОВЕДІНКА ПРОСТИХ СИСТЕМ
Ігор Анісімов, доктор фізико-математичних наук, професор
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, радіофізичний факультет
Вступ
На початку ХІХ століття відомий французький вчений Лаплас стверджував: якщо записати рівняння руху для всіх частинок, які складають Всесвіт, доповнити їх початковими умовами і проінтегрувати1 , то можна передбачити майбутнє як завгодно далеко вперед. Ця точка зору увійшла в історію науки як лапласівський детермінізм.
Приблизно через століття, коли сформувалася квантова механіка, стало зрозуміло, що Лаплас помилявся. Адже події у мікросвіті мають принципово імовірнісний характер, тобто поведінку, наприклад, одного конкретного електрона в принципі передбачити не можна (мо-жна тільки вказати ймовірність того чи іншого варіанту його поведінки).
А ще пізніше, в третій чверті ХХ століття, з'ясувалося, що програму Лапласа неможливо реалізувати навіть в рамках класичної (ньютонівської) механіки. Виявилося, що деякі макроскопічні системи, які мають порівняно невелику кількість ступенів вільності, теж можуть демонструвати непередбачувану поведінку. Усвідомлення цього факту дістало назву другої революції в механіці2.
Про те, як порівняно прості системи, описувані рівняннями класичної фізики, можуть демонструвати непередбачувану (хаотичну) поведінку, і піде мова у цій статті.
Більярд Синая
Історично одним з перших прикладів систем, близьких до реальних, які можуть демонструвати хаотичну (непередбачувану) поведінку, є так звані більярди Синая. Припускається, що більярдна кулька рухається без тертя, пружно відбиваючись від стінок (кут падіння дорівнює куту відбиття). Приклад такого більярда поданий на рис.1.
Рис.1. Схема більярда Синая.
Видно, що дві кульки, які в початковий момент часу знаходилися в сусідніх точках і рухалися з однаковими швидкостями, внаслідок відбиття від опуклої поверхні з часом розхо-дяться. Це й приводить до того, що поведінка кульки в більярді Синая з часом стає неперед-бачуваною.
Справді, для того, щоб передбачити рух кульки, ми повинні знати початкові умови. Вони знаходяться шляхом вимірювань і, отже, відомі неточно, з деякою похибкою. Але, як видно з рис.1, навіть мала зміна початкових умов може привести до істотної зміни руху кульки. Тому в дійсності рух кульки може дуже сильно відрізнятися від розрахованого. Це й означає, що поведінка кульки в більярді Синая є непередбачуваною.
Описати рух кульки у більярді Синая досить складно. Крім того, такий більярд є ідеа-лізованою моделлю і демонструє не всі характерні риси систем із непередбачуваною поведі-нкою. Але для того, щоб зрозуміти, як може виникнути непередбачуваність в інших, більш реальних системах, познайомимося спершу з деякими поняттями, які широко застосовують-ся в теорії коливань, зокрема, з фазовою площиною.
Фазова площина
Поведінку системи з одним ступенем вільності3 (наприклад, маятника, що вільно коливається4) зручно описувати за допомогою фазової площини. На цій площині по осі абсцис відкладається координата (наприклад, кут відхилення маятника), а по осі ординат - швидкість, тобто похідна від координати за часом. Точка, положення якої на фазовій площині в кожний момент часу відповідає стану (тобто координаті та швидкості) системи, називається зображувальною точкою. Лінія, яку з часом описує зображувальна точка на фазовій пло-щині, називається фазовою траєкторією. Набір усіх можливих фазових траєкторій утворює фазовий портрет системи.
Маятнику, який здійснює гармонічні коливання, відповідає фазовий портрет у вигляді набору вкладених еліпсів (рис.2). Видно, що максимальна швидкість маятника досягається тоді, коли його відхилення дорівнює нулеві. Навпаки, при максимальному відхиленні швидкість обертається в нуль.
Перевернутому маятнику5 (або візку, що наїжджає на гірку) відповідає фазовий порт-рет у вигляді сім'ї гіпербол (рис.3). Наприклад, фазові траєкторії типу І описують випадок, коли візок наїжджає на гірку з лівого боку, зупиняється і скочується назад. Фазові траєкторії типу ІІ відповідають ситуації, коли візок наїжджає на гірку з лівого боку, але тепер його по-чаткової кінетичної енергії вистачає на те, щоб доїхати до вершини, після чого він скочується з правого схилу гірки, і т.д.
Лінії, що розділяють на фазовій площині області з якісно відмінним характером руху, називаються сепаратрисами. На рис.3 сепаратриси - це асимптоти сім'ї гіпербол.
|
|
Рис.2. Фазовий портрет маятника
(візка в ямі): х - координата, у - швидкість. |
Рис.3. Фазовий портрет перевернутого
маятника (візка на гірці). |
Стійкість, нестійкість та непередбачуваність руху
За допомогою фазової площини зручно характеризувати стійкість чи нестійкість руху системи або її положення рівноваги.
Говорять, що рух системи є стійким (або, точніше, стійким за Ляпуновим), якщо мала зміна початкових умов (початкових положення та швидкості системи) приводить до малої зміни її руху в будь-який момент часу (рис.4). Так, рух маятника (для малих кутів від-хилення, коли ще не проявляються нелінійні ефекти, зокрема, період коливань не залежить від їхньої амплітуди) є стійким за Ляпуновим.
Навпаки, для перевернутого маятника точки по різні боки сепаратриси, якими б бли-зькими вони не були в початковий момент, з часом розійдуться як завгодно далеко (рис.5). Таким чином, мала зміна початкових умов такої системи в околі сепаратриси може спричи-нити радикальні зміни руху системи (наприклад, візок, що мав переїхати через гірку, зупи-ниться і скотиться назад.
|
|
| Рис.4. Фазові траєкторії системи, стійкої за Ляпуновим. |
Рис.5. Розбігання зображувальних точок на фазовому портреті перевернутого маятника. |
Інший приклад системи, нестійкої за Ляпуновим - це маятник з від'ємним тертям (така модель описує, наприклад, генератор електричних коливань на лампі або транзисторі в початкові моменти часу після увімкнення напруги живлення). Його фазовий портрет (рис.6) являє собою набір спіралей, які з часом розкручуються, причому віддаль між сусідніми витками поступово зростає. Іншими словами, в такій системі відбуваються коливання, амплітуда яких зростає з часом (як показує розрахунок, за експоненціальним законом). Зрозуміло, що в такій системі віддаль між двома зображувальними точками, розташованими, наприклад, на сусідніх витках спіралі, з часом зростатиме (рис.6).
Рис.6. Розбігання зображувальних точок на фазовому портреті маятника з від'ємним тертям
Отже, перевернутий маятник та маятник з від'ємним тертям належать до класу нестійких систем. У них мала зміна початкових умов з часом може привести до істотної зміни руху. В реальних ситуаціях, як уже вказувалося вище, початкові умови визначаються з експерименту і, отже, відомі з обмеженою точністю. Тоді нестійкість означає, що поведінку такої системи фактично неможливо передбачити (як ми це бачили на прикладі більярду Синая). Точніше, ми можемо прорахувати її рух наперед, але неточність початкових умов призведе до того, що для пізніх моментів часу цінність нашого розрахунку різко змен-шиться, оскільки можлива похибка буде порядку самої розрахованої величини.
Таким чином, нестійкість руху системи може спричинити його непередбачуваність.
Хаотичність руху простих систем
Коли говорять про хаотичну зміну з часом якої-небудь величини, то мають на увазі, що ця величина змінюється випадковим, непередбачуваним чином, залишаючись при цьому, однак, у деяких скінчених межах. Так змінюється з часом, наприклад, тиск газу на невелику поверхню, обумовлений випадковими ударами молекул, які здійснюють тепловий рух, або напруга на кінцях провідника, спричинена тепловим рухом електронів.
В принципі задачу про рух молекул газу в деякому об'ємі можна розв'язати точно. Але для цього треба записати і проінтегрувати систему рівнянь руху для всіх молекул, допо-внену відповідними початковими умовами. Оскільки така задача не може бути розв'язана навіть за допомогою сучасних комп'ютерів6, використовують такий прийом: вводять деякі середні величини, що характеризують систему в цілому (тиск, температуру, концентрацію частинок та ін.), а відхилення від цих середніх значень розглядають як деякі випадкові флуктуації.
Чи можна вважати рух простих нестійких систем - перевернутого маятника чи маят-ника з від'ємним тертям - хаотичним? Очевидно, не можна, оскільки в цих системах рух є інфінітним (необмеженим) - простіше кажучи, відхилення від положення рівноваги з часом необмежено зростає.
Але якби вдалося поєднати нестійкість (а, отже, й непередбачуваність) руху системи з його обмеженістю, у нас були б усі підстави вважати такий рух хаотичним. Справді, обмеженість руху дозволяє характеризувати його деякими середніми величинами (які виступають аналогом тиску чи температури), а непередбачуване відхилення від цих середніх вели-чин розглядати як випадкові флуктуації.
Легко зрозуміти, що саме таку поведінку демонструє кулька в більярді Синая. Середні значення її координат відповідають, наприклад, центру більярду, а відхилення від цього по-ложення можуть розглядатися як флуктуації. Нестійкість руху кульки в більярді Синая обу-мовлена, як уже вказувалося, відбиттям від опуклої поверхні.
Для систем з одним ступенем вільності (таких, як маятник), поведінку яких можна описати за допомогою фазової площини, поєднання нестійкості й обмеженості руху немож-ливе. Але така заборона знімається для систем з більшою кількістю ступенів вільності. Та-ким чином, уже для систем, яким відповідає тривимірний фазовий простір (говорять, що такі системи мають півтора ступеня вільності), можлива хаотична поведінка у вказаному вище розумінні.
Говорять, що такі системи демонструють динамічний хаос.
Слід підкреслити, що динамічний хаос виникає за відсутності будь-яких випадкових зовнішніх сил, що діють на систему.
Наведені вище міркування були вперше висловлені відомим фізиком-теоретиком Ма-ксом Борном близько 1950 року.
Підсумовуючи сказане, можна сказати, що погляди Лапласа, про які говорилося на початку статті, в певному сенсі вірні (для макроскопічних систем), але на практиці поведінку таких систем можна передбачити не завжди через їхню нестійкість і неточне знання початко-вих умов.
Математичний маятник, на який діє мала періодична сила
Прикладом системи з півтора ступенями вільності є маятник, на який діє зовнішня пе-ріодична (невипадкова) сила. Як уже вказувалося, фазовий простір такої системи буде три-вимірним - по осях відкладаються координата, швидкість і час.
Хаотична динаміка простих систем вимагає, зокрема, щоб вони були нелінійними7. Для маятника нелінійність означає, що сила, яка повертає систему в положення рівноваги, нелінійно залежить від відхилення. Поширеним прикладом такого маятника може слугувати так званий математичний маятник, для якого згадана сила пропорційна синусу кута відхи-лення, f(x)~sin(x). Наочною моделлю математичного маятника може служити кулька, яка без тертя рухається по хвилястому листу шиферу, покладеному горизонтально. Фазовий портрет такого маятника поданий на рис.7. Фазові траєкторії можна розділити на дві групи. Одні з них, так звані траєкторії фінітного руху, що лежать всередині петель сепаратриси, являють собою замкнені лінії. Їм відповідають коливання візка навколо "западин" листа шиферу. Інші фазові траєкторії - траєкторії інфінітного руху - починаються і закінчуються на нескінченос-ті. Їм відповідає рух візка з великою початковою швидкістю, якої вистачає для того, щоб пе-реїжджати через "горби" шиферного листа. В околі дна "западин" (положень стійкої рівнова-ги) фазові траєкторії виглядають так само, як на рис.2, а в околі вершин "горбів" (положень нестійкої рівноваги) - так само, як на рис.3.
Рис.7. Фазовий портрет вільних коливань математичного маятника (без тертя).
Нехай тепер на математичний маятник діє мала зовнішня періодична сила. Наприклад, у нашій моделі можна уявити собі фантастичну ситуацію, коли кулька є зарядженою, а вся система вміщена в електричне поле, спрямоване горизонтально, яке періодично змінюється в часі з певною частотою. До речі, такий самий результат можна отримати, якщо смикати лист шиферу в горизонтальній площині.
Якщо за відсутності зовнішньої сили маятник рухався по одній з фазових траєкторій, далеких від сепаратриси (наприклад, кулька зупиняється в точці 1, див. рис.8), то мала зов-нішня сила майже не вплине на його рух. Фазові траєкторії фінітного та інфінітного руху в тривимірному фазовому просторі для цього випадку подані на рис.9 а-б.
Рис.8. Рух кульки на періодичному рельєфі під дією малої зовнішньої сили.
Якщо зображувальна точка рухається поблизу сепаратриси, то невелика зміна координати або швидкості може перевести її на якісно іншу фазову траєкторію (див. рис.7). У нашому випадку це означає, що мала зовнішня сила може помітно вплинути на рух системи лише тоді, коли кулька зупиняється поблизу вершини "горба" (точка 2 на рис.8). За певних умов вона може підштовхнути кульку так, що та перекотиться в сусідню ямку. Реалізація такого сценарію істотно залежить від початкових умов і дуже чутлива до їхньої зміни8. Оскільки в реальності початкові умови ніколи не відомі точно, це й означає непередбачуваність по-ведінки системи. В даному конкретному випадку ми не можемо передбачити, в яку саме з двох сусідніх ям перекотиться кулька і коли це відбудеться. В принципі, якщо почекати до-статньо довго, ми можемо виявити кульку на як завгодно великій віддалі від її початкового положення.
|
|
| Фазові траєкторії математичного маятника, що рухається поза околом сепаратриси і зазнає дії малої зовнішньої сили: |
| Рис.9.а. фінітний рух |
Рис.9.б. інфінітний рух. |
Схема генератора шуму Кияшка - Піковського - Рабиновича
Система, яку ми розглянули вище, по-перше, неавтономна (на маятник діє деяка зовнішня сила), по-друге, позбавлена дисипації (розсіювання енергії) - ефекту, який присутній у більшості реальних макроскопічних систем. Тому цікаво розглянути прості системи, які демонструють непередбачувану поведінку і є при цьому автономними і дисипативними. Прикладом таких систем може служити проста радіотехнічна схема - так званий генератор шуму Кияшка - Піковського - Рабиновича (генератор КПР).
Схема генератора КПР подана на рис.10. Послідовно з тріодом до джерела живлення (показане стрілкою) увімкнена первинна обмотка трансформатора з коефіцієнтом взаємної індукції М. Вторинна обмотка увімкнена в коливний контур, який включає також конденсатор С, активний опір R та тунельний діод D9. Напруга з коливного контуру (точніше, з кон-денсатора С) подається на сітку тріода.
За відсутності тунельного діода схема генератора КПР перетворюється на загальновідому схему так званого LC-генератора електричних коливань. В такому генераторі коливання, що виникають у контурі на його власній частоті, подаються на тріод, зазнають підсилення і знову повертаються в контур. Говорять, що в схемі має місце позитивний зворотний зв'язок: вихідний сигнал знову подається на вхід, причому з тією самою фазою. В результаті в початкові моменти часу, доки коливання залишаються малими і не дається взнаки нелінійність тріода, амплітуда коливань з часом експоненціально зростає, тобто схема поводить себе, як маятник з від'ємною дисипацією (див. рис.6).
Вольтамперна характеристика (ВАХ) тунельного діода подана на рис.11. Вона немо-нотонна. Ділянка, де струм спадає зі зростанням напруги, є нестійкою10.
|
|
| Рис.10. Схема генератора КПР. |
Рис.11. Вольтамперна характеристи-ка тунельного діода. |
Таким чином, ВАХ тунельного діода (рис.11) має дві робочі ділянки: низькоомну ділянку А (грубо кажучи, на цій ділянці діод можна замінити малим опором) і високоомну ділянку В, на якій опір діода суттєво зростає (при тому самому струмі падіння напруги на діоді на ділянці В значно більше, ніж на ділянці А).
Слід також узяти до уваги, що тунельний діод має деяку невелику ємність С . Тому повний струм через нього складатиметься з струму провідності, що визначається ВАХ, і струму зміщення, який протікає через ємність тунельного діода. Саме ємність тунельного діода робить генератор КПР системою з півтора ступенями вільності (звичайний LC-генератор має одну ступінь вільності).
Режим динамічного хаосу генератора КПР.
Оскільки генератор КПР має півтора ступені вільності, для його опису потрібен три-вимірний фазовий простір. По осях цього простору зручно відкласти струм І в контурі, на-пругу V на тунельному діоді та напругу U на конденсаторі коливного контуру.
Аналіз диференціальних рівнянь, які описують роботу схеми, показує, що за умови С`<<С на фазовому портреті системи можна виділити ділянки швидкого та повільного руху. Фазові траєкторії, що відповідають ділянкам повільного руху, лежать на поверхні, яка пер-пендикулярна до осі U, причому перетин цієї поверхні площинами U=const дає ВАХ тунельного діода. Поверхня повільного руху показана на рис.12, літерами позначені її ділянки, що відповідають позначеним так само ділянкам ВАХ (рис.11).
Якщо зображувальна точка опиняється за межами поверхні повільного руху, вона потрапляє на траєкторії швидкого руху11. Останні являють собою вертикальні прямі12, паралельні осі V і спрямовані в бік поверхні повільного руху. Наприклад, якщо зображувальна точка підходить до краю області В (рис.12), вона опиняється на траєкторії швидкого руху і майже миттєво перестрибує по ній на відрізок О``О```, що належить області А. В результаті опір ту-нельного діода стрибком зменшується. І навпаки, опинившись на краю області А, зображувальна точка по траєкторії швидкого руху перестрибує вгору на відрізок ОО`, що належить області В, в результаті чого опір тунельного діода стрибком зростає. Ці ефекти обумовлені нестійкістю спадної ділянки ВАХ тунельного діода і його ненульовою ємністю С`.
|
|
| Рис.12. Поверхня повільного руху |
Рис.13. Фазовий портрет стохастич-них коливань |
Параметри схеми підібрані таким чином, що при малому опорі тунельного діода (на ділянці А, рис.11) схема працює як генератор, тобто в ній зростають коливання. Навпаки, при великому опорі тунельного діода (на ділянці В) коливання в контурі різко (аперіодично) згасають.
Фазовий портрет генератора КПР у режимі стохастичних коливань показаний на рис.13.
Нехай у початковий момент часу коливання відсутні. Тоді струм через тунельний діод не протікає, тобто діод перебуває в низькоомному стані (див. рис.11). Оскільки точка рівно-ваги є нестійкою (див. рис.6), у контурі починають зростати коливання. Цьому процесу від-повідає спіраль, що розкручується, на поверхні повільного руху А.
Коли струм у контурі набуває значення Іmax (рис.11), зображувальна точка підходить до краю поверхні А і перестрибує в область В. При цьому опір тунельного діода різко збільшується, і зростання коливань у контурі змінюється їхнім швидким згасанням. Відповідно фазова траєкторія на поверхні В являє собою відрізок спіралі, що швидко скручується. Коли струм у контурі спадає до значення Іmin (рис.11), зображувальна точка підходить до краю по-верхні В і знову перестрибує в область А.
Зриваючись униз з краю поверхні В, зображувальна точка мусить потрапити в одну з точок відрізка ОО`. Але, оскільки цей відрізок містить нескінчену кількість точок, то ймовірність потрапити на попередню фазову траєкторію (яка перетинає відрізок ОО` скінчену кількість разів) дорівнює нулеві. Потрапляння зображувальної точки на попередню фазову траєкторію після складних "мандрівок" поверхнями А та В так само неймовірно, як потрапляння двох снарядів у ту саму точку. Отже, фазова траєкторія буде незамкненою. Іншими словами, нові коливання в контурі зростатимуть від деяких інших значень амплітуди і фази порівняно з попередньою послідовністю коливань. Це приведе до того, що пачки коливань, ге-неровані в проміжках між стрибками, будуть відрізнятися одна від одної.
Епюри коливань генератора КПР у такому режимі показані на рис.14. Видно, що вони являють собою пачки коливань скінченої тривалості, амплітуда яких експоненціально зростає. Кількість коливань у пачках неоднакова і змінюється випадковим чином. Тому сигнал генератора КПР є непередбачуваним і може розглядатись як деякий шум.
Можна показати, що фазовий портрет генератора КПР, як і будь-якої іншої дисипативної системи, що демонструє стохастичну поведінку, являє собою фрактал - об'єкт із нецілою геометричною розмірністю, причому сусідні зображувальні точки на ньому з часом розбігаються.
Рис.14. Епюри стохастичних коливань.
Висновки
Мозок дорослої людини влаштований таким чином, що вона звичайно помічає навколо себе тільки те, що може пояснити. Можливо, це зроблено для того, щоб мозок випадково не "перегорів" від надмірного напруження.
Коли в 1950х роках геніальний російський математик А.М.Колмогоров розробляв ма-тематичний апарат для опису непередбачуваної поведінки простих систем, здавалося, що таких систем не існує взагалі або вони зустрічаються дуже рідко. Але коли ідеї М.Борна, А.М.Колмогорова та інших набули широкого розголосу і озброєні ними вчені-фізики новими очами глянули навкруги, з'ясувалося, що систем, які за певних умов можуть демонструвати динамічний хаос, надзвичайно багато. Виявилося, наприклад, що до класу систем із хаотичною динамікою належить класична задача трьох тіл, що притягаються одне до одного, над якою марно билися багато знаменитих математиків ХІХ століття, та ряд інших задач астро-номії. Для атмосфери має місце "ефект метелика", який полягає в тому, що рух повітря, обу-мовлений польотом метелика в джунглях Амазонки, може спричинити радикальну зміну по-годи в Сибіру. З динамічним хаосом тісно пов'язане і таке загальновідоме і надзвичайно по-ширене явище, як турбулентна течія рідини, що супроводжується випадковим утворенням вихорів різних масштабів.
Сьогодні вважається встановленим, що майже будь-яка нелінійна нерівноважна си-стема, що має більше одного ступеня вільності, в певному діапазоні параметрів може рухатися хаотично.
vЗвичайно, в популярній статті неможливо детально описати явище динамічного хаосу. До того ж сьогодні даний розділ фізики і математики ще далекий від свого завершення. Можливо, хтось із читачів журналу "Світ фізики" з часом теж залишить свій вагомий внесок у цій складній, але цікавій науці...
Сноски:
1. Рух частинки в класичній механіці описується диференціальним рівнянням (тобто рівнянням, що містить фун-кції і похідні від них) або системою таких рівнянь. Для того, щоб отримати однозначний розв'язок диференціа-льного рівняння (або, як кажуть, проінтегрувати диференціальне рівняння), його треба доповнити початковими умовами, тобто значеннями координати і швидкості частинки в початковий момент часу.
2. Першою революцією вважають створення квантової механіки.
3. Це системи, рух яких повністю характеризується двома скалярними величинами - координатою та швидкістю (або координатою та імпульсом).
4. Замість маятника можна розглянути візок, що їздить без тертя на дні ями з параболічним профілем.
5. Йдеться про маятник у вигляді маси, підвішеної на твердому стрижні. Розглядаються малі кути відхилення від положення нестійкої рівноваги, в якому стрижень піднятий вертикально вгору.
6. Утім, початкові кроки на цьому шляху вже зроблені - маю на увазі комп'ютерні розрахунки за методом вели-ких частинок, коли реальні молекули, атоми, іони чи електрони замінюються меншою кількістю більших (за масою, зарядом та ін.) частинок, для яких і розв'язуються числовими методами точні рівняння руху. Виграш при такому підході полягає в зменшенні кількості рівнянь.
7. Можна показати, що рух будь-якої лінійної системи характеризується експоненціальною залежністю від часу, exp(pt), де величина р в загальному випадку є комплексною.
8. Ситуація додатково ускладнюється тим, що рух поблизу вершини "горба" різко сповільнюється.
9. Назва тунельного діода пов'язана з тим, що принцип його дії заснований на відомому в квантовій механіці тунельному ефекті - здатності частинок (обумовленій їхніми хвильовими властивостями) проходити через за-боронені області, де їхня повна енергія менша від потенціальної. Для розуміння роботи генератора КПР прин-цип дії тунельного діода є неістотним.
10. Це можна показати за допомогою простих міркувань. Нехай у початковий момент часу до тунельного діода й резистора, увімкненого послідовно з ним (такий елемент завжди присутній; його роль може відігравати, напри-клад, внутрішній опір джерела живлення), прикладена напруга, що відповідає спадній ділянці ВАХ (між точка-ми V1 та V2). Нехай ця напруга випадково зросте. При цьому зросте й струм через діод. Відповідно до його ВАХ напруга на діоді впаде. Це спричинить подальше зростання напруги на резисторі і відповідне зростання струму, а, отже, й зменшення напруги на діоді. Процес припиниться тоді, коли напруга на діоді стане меншою від V12.
11. Швидкість руху по цих траєкторіях обернено пропорційна до ємності тунельного діода С`.
12. Точніше, відхилення від вертикалі пропорційне до С`.
|