Кибернетика, или управление и связь в животном и машине.II. ГРУППЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
К началу этого столетия двое ученых, один в Соединенных Штатах, другой во
Франции, работали в областях, которые показались бы им совершенно не связанными,
если бы один из них узнал о существовании другого. * В современной механике термин “импульс” (в отличие от “импульса силы”) означает то же, что и “количество движения”. Наш выбор следует наметившейся традиции русской литературы по динамическим системам. В оригинале Винер употребляет традиционный английский термин “momentum”. Вероятности, равные единице
и нулю, суть понятия, включающие полную достоверность и полную невозможность, но
их значение гораздо шире. Если я стреляю по цели нулей точечного размера, то
вероятность моего попадания в определенную точку цели равна нулю, хотя не
исключена возможность, что я попаду в нее; и, действительно, в каждом отдельном
случае я обязательно попаду в некоторую точку, что является событием нулевой
вероятности. Таким образом, событие вероятности 1, а именно попадание в
какую-либо точку, может состоять из совокупности событий, каждое из которых
имеет вероятность 0.
* Это пространство
называется фазовым пространством системы: его точки изображают различные фазы,
или состояния, системы. Термин “фазовое пространство” появляется у Винера
несколько ниже без пояснения.
В сугубо частных системах могут быть и другие величины, не определяемые энергией, количеством движения и
моментом количества движения, также не меняющиеся с эволюцией системы.
Известно, однако, что системы с другими инвариантными величинами, зависящими от
начальных координат и импульсов динамической системы и достаточно регулярными,
чтобы допускать интегрирование на основе меры Лебега, в действительности очень
редки, в некотором вполне точном смысле.(1) В системах, не имеющих других
инвариантных величин, можно фиксировать координаты, соответствующие энергии,
количеству движения и общему моменту количества движения, и тогда в пространстве
остальных координат мера, определяемая координатами положении и импульсов,
определит сама некоторую подмеру, подобно тому, как мера в трехмерном
пространстве определит площадь на двумерной поверхности для заданного семейства
двумерных поверхностей. Например, пусть мы имеем семейство концентрических сфер;
объем между двумя сближаемыми концентрическими сферами (если его нормировать,
приняв за единицу полный объем области между двумя сферами) в пределе даст меру
площади на поверхности сферы. В гиббсовой статистической механике встречаются как временные, так и пространственные средние. Блестящей идеей Гиббса была попытка доказать, что эти средние в некотором смысле тождественны. Догадка Гиббса о связи двух типов средних совершенно правильна, но метод, которым он пытался доказать эту связь, был совершенно и безнадежно неверным. В этом его вряд ли можно винить. Интеграл Лебега стал известен в Америке лишь к моменту смерти Гиббса. В течение еще пятнадцати лет он был музейной редкостью и применялся только, чтобы продемонстрировать молодым математикам, до какой степени могут быть доведены требования математической строгости. Такой выдающийся математик, как У.Ф. Осгуд, не хотел его признать до конца своей жизни*. Лишь около 1930 г. группа математиков – Купмен, фон Нейман, Биркгофф (2) – установила наконец прочные основы статистической механики Гиббса. Каковы были эти основы, мы увидим дальше, когда познакомимся с эргодической теорией. * Тем не менее некоторые из ранних работ Осгуда представляют важный шаг в направлении к интегралу Лебега. Сам Гиббс думал, что в системе, из которой удалены все инварианты – лишние координаты, почти все пути точек в фазовом пространстве проходят через все координаты такого пространства. Эту гипотезу он назвал эргодической, от греческих слов εργον – “работа” и οδόσ – “путь”. Но как показал Планшерель и другие, ни в одном реальном случае эта гипотеза не оправдывается. Никакая дифференцируемая траектория, даже бесконечной длины, не может покрыть целиком область на плоскости. Последователи Гиббса и, по-видимому, в конце концов сам Гиббс смутно поняли это и заменили свою гипотезу другой, квазиэргодической гипотезой, которая утверждает лишь, что с течением времени система в общем случае проходит неограниченно близко к каждой точке в области фазового пространства определенной известными интервалами. Логически такая гипотеза вполне приемлема, но она совершенно недостаточна для тех выводов, которые Гиббс основывает на ней. Она ничего не говорит об относительном времени пребывания системы в окрестности каждой точки. Помимо понятий среднего и меры (иначе говоря, среднего по всему пространству от функции, равной 1 на измеряемом множестве и 0 вне его), необходимых в первую очередь для разбора идей Гиббса, мы нуждаемся при оценке действительного значения эргодической теории в более точном анализе понятия инварианта, как и понятия группы преобразований. Эти понятия, несомненно, были известны Гиббсу, как показывают его работы по векторному анализу. Тем не менее можно утверждать, что он не оценил в полной мере их философского значения. Подобно своему современнику Хевисайду, Гиббс принадлежал к типу ученых, у которых физико-математическая проницательность часто опережает их логику и которые обыкновенно бывают правы, но часто не в состоянии объяснить, почему и как. Для существования любой науки необходимо, чтобы существовали явления, которые не оставались бы изолированными. Если бы мир управлялся серией чудес, совершаемых иррациональным богом с его внезапными прихотями, то мы были бы вынуждены ждать каждой новой катастрофы в состоянии пассивного недоумения. Подобную картину мира встречаем мы в крокетной игре, описанной в “Алисе в стране чудес"*. В этой игре молотки – фламинго, шары – ежи, которые спокойно разворачиваются и идут по своим делам, ворота – карточные солдаты, точно так же способные совершать движения по собственной инициативе, а правила игры определяются декретами вспыльчивой королевы червей**, поведение которой невозможно предугадать. * Известная сказка
английского писателя Льюиса Кэрролла (Ч.Л. Доджсона, 1832–1898), неоднократно
издававшаяся в русском переводе. Существо эффективного правила игры или полезного закона физики состоит в том, что правило можно установить заранее и применять во многих случаях. В идеале закон должен описывать свойство рассматриваемой системы, остающееся всегда тем же самым в потоке частных событий. В простейшем случае берется свойство, инвариантное относительно множества преобразований, которым подвергается система. Так мы приходим к понятиям преобразования, группы преобразований и инварианта.Преобразование системы есть изменение, при котором каждый элемент переходит в другой элемент. Изменение Солнечной системы в промежуток между моментами времени t1 и t2 есть преобразование координат планет. Аналогичное изменение их координат при перемещении нами начала координат при повороте наших геометрических осей также есть преобразование. Изменение масштаба, происходящее, когда мы наблюдаем препарат в микроскоп, – еще один пример преобразования” Если за преобразованием А следует преобразование В, то в результате получается преобразование, называемое произведением, или результирующим преобразованием ВА. Заметим, что произведение, вообще говоря, зависит от порядка преобразований A и В. Например, если А – преобразование, переводящее координату х в координату у, а у – в х, оставляя z без изменений, и если В переводит х в z, а z – в х, оставляя у без изменений, то ВА будет переводить х в у, у – в z и z – в х, а АВ будет переводить х в z, у – в х и z – в у. Если АВ и ВА совпадают, то говорят, что А и В перестановочны. Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А–1, что каждое из произведений АА–1 и А–1A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом случае мы называем преобразование А–1 обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А–1, что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B–1A–1 Существуют множества преобразований, в которых: * По имени норвежского математика Нильса Абеля (1802–1829). Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей особенно важны две. Первая разновидность – так называемые линейные
инварианты. Обозначим через х элементы, преобразуемые абелевой
группой, и пусть f(x) – комплексная функция этих элементов, обладающая
надлежащими свойствами непрерывности или интегрируемости. Тогда, если Тх –
элемент, получаемый из х при преобразовании Т, a
f(x) – функция с абсолютным
значением 1, такая, что Это инвариант группы в несколько обобщенном смысле. Ясно, что
если f(x) и g(x) – характеры
группы, то f(x)g(x) также есть характер группы, как и [f(x)] –1.
Если какая-либо функция h(x),
определенная на группе, представима линейной комбинацией характеров группы,
скажем в виде Мы видели, что характеры группы порождают другие характеры при умножении и обращении; нетрудно видеть также, что константа 1 есть характер. Следовательно, умножение на характер порождает группу преобразований самих характеров; последняя называется группой характеров исходной группы. Если исходная группа есть группа сдвигов по бесконечной прямой,
то оператор Т изменяет х в х+Т и соотношение (2.03)
переходит в соотношение Положив вновь f(x) = eiλx, получим(2.08) Это значит, что λ должно быть целым действительным числом – положительным, отрицательным или нулем. Следовательно, группа характеров здесь соответствует сдвигам целых действительных чисел. С другой стороны, если исходная группа есть группа сдвигов целых чисел, то х и Т в (2.06) могут принимать только целочисленные значения и функция eiλx задается полностью числом, лежащим между 0 и 2π и отличающимся от λ на целочисленное кратное 2π. Следовательно, группа характеров в этом случае по существу представляет собой группу поворотов по окружности.В любой группе характеров числа α(T), соответствующие данному характеру f, распределены таким образом, что эти распределение не нарушается при умножении их всех на
α(S), каков бы ни был элемент S исходной группы. Иначе говоря, если
есть какое-то разумное основание взять среднее от этих чисел, не затрагиваемое,
когда группа преобразуется умножением каждого ее преобразования на одно
фиксированное, то либо α(Т)
тождественно равно 1, либо наше среднее инвариантно относительно умножения на
числа, отличные от 1, и потому должно равняться 0. Отсюда можно заключить, что
среднее произведение характера на величину, с ним сопряженную (которая также
является характером), будет равно 1, а среднее произведение характера на
величину, сопряженную с другим характером, будет равно 0. Другими словами, если h(x) представлено как в
(2.04), то Для группы поворотов по окружности это дает нам сразу, что
если то (2.11) Для сдвигов же по бесконечной прямой результат тесно связан с тем обстоятельством, что если в некотором подходящем смысле (2.12) то в определенном смысле (2.13) Эти результаты изложены здесь очень грубо, без точной формулировки условий их справедливости. Более строгое изложение теории читатель может найти в работе, указанной в примечании.(3)
Наряду с теорией линейных инвариантов
группы, существует также общая ее метрических инвариантов. Последние
представляют собой системы меры Лебега, не претерпевающие изменений, когда
объекты, преобразуемые группой, переставляются операторами группы. В этой связи
следует упомянуть интересную теорию групповой меры, которую дал Гаар.(4) Наиболее важное применение теории метрических инвариантов группы преобразований состоит в обосновании взаимной заменимости фазовых и временных средних, которую, как мы видели выше, Гиббс тщетно пытался доказать. Это доказательство было выполнено на основе так называемой эргодической теории. В обычных эргодических теоремах рассматривается ансамбль
Е, меру которого можно принять за единицу, и этот ансамбль преобразуется
в себя сохраняющим меру преобразованием Т или группой сохраняющих меру
преобразований Тλ, где
– ∞<λ<∞ и Эргодическая теория имеет дело с комплексным функциями f(х) элементов х из Е. Во всех случаях f(х) считается измеримой по х, а если мы рассматриваем непрерывную группу преобразований, то f( Тλх) считается измеримой по х и λ вместе.В эргодической теореме Купмена – фон Неймана о сходимости в
среднем функция f(х) считается
принадлежащей к классу L2;
это значит, что Теорема утверждает, что
В эргодической теореме Биркгоффа о сходимости “почти всюду”
функция f(х) считается
принадлежащей к классу L; это значит,
что Функции fN(х) и fA(х) определяются, как в (2.16) и (2.17). Теорема
утверждает,(5) что для всех значений х, за исключением
множества нулевой меры, существуют пределы Особенно интересен так называемый эргодический, или
метрически транзитивный, случай, когда преобразование Т или
множество преобразований Тλ не
оставляет инвариантным ни одно множество точек х с мерой, отличной от 1 и
0. В таком случае множество значений (для обеих эргодических теорем), на которых f*(х) пробегает
заданный интервал, почти всегда есть 1 или 0. Это возможно только при том
условии, что f*(х)
почти всегда постоянна. Тогда f*(х) почти всегда равна * l.i.m. (the limit in the mean) – применяемое Винером обозначение предела в среднем (употребляется и в русском переводе его “Интеграла Фурье”) Для случая, когда преобразование Т или группа
преобразований Тλ не
являются эргодическими, фон Нейман показал, что при очень общих условиях они
могут быть сведены к эргодическим составляющим. Это значит, что, отбросив
множество значений х нулевой меры, Е можно разбить на конечное или
счетное множество классов Еn и континуум классоd Е(у), таких,
что на каждом Еn и
Е(у) устанавливается мера,
инвариантная при Т и Тλ. Все эти
преобразования эргодические, и если S(y) – пересечение множества S с Е(у), Sn – пересечение множества S с Еn, то Другими словами, вся теория сохраняющих меру преобразований
может быть сведена к теории эргодических преобразований. В обычных термодинамических задачах о тепловом двигателе мы
имеем дело с условиями, когда в больших областях, скажем в цилиндре двигателя,
существует грубое тепловое равновесие. Состояния, для которых мы исследуем
энтропию, уже являются состояниями максимальной энтропии для данной температуры
и объема, где речь идет о немногих областях фиксированных объемов и температуры.
Даже при более тонких рассмотрениях тепловых двигателей, в частности двигателей типа турбины, где газ расширяется гораздо более сложным
образом, чем в цилиндре, эти условия не изменяются очень сильно. Мы все еще
может говорить с весьма хорошим приближением о местных температурах, хотя
температура определима точно лишь в состоянии равновесия и методами,
предполагающими такое равновесие. Но в живом веществе мы уже не можем
предполагать даже этой грубой однородности. В строении белковой ткани, которое
показывает электронный микроскоп, наблюдается чрезвычайная определенность и
тонкость организации, и физиология такой ткани должна обладать соответственно
тонкой организацией. Эта тонкость гораздо больше, чем у
пространственно-временной шкалы обычного термометра, и потому температуры,
измеряемые обычными термометрами в живых тканях, представляют грубые средние
величины, а не истинные термодинамические температуры. Гиббсова статистическая
механика может оказаться довольно адекватной моделью того, что происходит в
живом теле; картина, подсказанная обычным тепловым двигателем, – заведомо нет.
Тепловой коэффициент полезного действия мышц почти ничего не значит и, уж
конечно, он не значит того, что он, казалось бы, должен значить. * Идея такого существа, нарушающего второй закон термодинамики, изложена Максвеллом в 1871 г. в его “Теории теплоты” (Maxwell S.С. Theory of Heat. – London: Longmans, Green, and Co., 1871. Chap. XXII. Р. 308–309; русское издание: Максуэлль К. Теория теплоты в элементарной обработке. / Пер. с 7-го англ. издания. – Киев: Типография И.Н. Кушнерева и Ко, 1888. Гл. XXII. С. 288–289). Легче отвергнуть вопрос, поставленный Максвеллом, чем ответить
на него. Самое простое – отрицать возможность подобных существ или устройств.
При строгом исследовании мы действительно найдем, что демоны Максвелла не могут
существовать в равновесной системе, но если мы примем с самого начала эту
невозможность и не будем пытаться доказать ее, то упустим прекрасный случай
узнать кое-что об энтропии и о возможных физических, химических и биологических
системах.
продолжение
Примечание |
БИБЛИОТЕКА
НОРБЕРТ ВИНЕР | ||
|
- клуб бронникова -
китай клуб - лаборатория пространств -
интерактив лаборатория - адвокат клуб
- форум -
- главная -
концепция - история -
обучение - объявления -
пресса - вернисаж - словарь
- рассылка -